RT三角形ABC中角ACB=90度,D为ab的中点,E在ac上,f在bc上,且ae平方+bf平方=cf平方+Ce平方,试说明DE垂直DF

Question

RT三角形ABC中角ACB=90度,D为ab的中点,E在ac上,f在bc上,且ae平方+bf平方=cf平方+Ce平方,试说明DE垂直DF

Answer 1

证明：在FD的延长线上取点G,使FD＝GD,连接AG、EG
∵∠ACB＝90
∴∠CAB+∠B＝90,CE²+CF²＝EF²
∵D为AB的中点
∴AD＝BD
∵FD＝GD,∠ADG＝∠BDF
∴△ADG≌△BDF （SAS）
∴AG＝BF,∠GAD＝∠B
∴∠CAG＝∠CAB+∠GAD＝∠CAB+∠B＝90
∴AE²+AG²＝EG²
∴AE²+BF²＝EG²
∵AE²+BF²＝CE²+CF²
∴EF²＝EG²
∴EF＝EG
又∵FD＝FG
∴DE⊥DF （三线合一）