已知角MAN,AC平分角MAN.1.若角MAN=120度,角ABC=角ADC=90度,AB+AD=AC.接上文:若角MAN=120度,角ABC+角ADC=180度,则1中结论是否成立,若成立,求证明过程,不成立,请说明理由.

Question

已知角MAN,AC平分角MAN.1.若角MAN=120度,角ABC=角ADC=90度,AB+AD=AC.
接上文:若角MAN=120度,角ABC+角ADC=180度,则1中结论是否成立,若成立,求证明过程,不成立,请说明理由.

Answer 1

（1）证明：∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,
∴∠CAD=∠CAB=60°．
又∠ABC=∠ADC=90°,
∴AD=1 2 AC,AB=1 2 AC,
∴AB+AD=AC．
结论仍成立．理由如下：
作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED=∠CFB=90°,
∵AC平分∠MAN,
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC,
在△CDE和△CBF中,
∠CDE=∠CBF ∠CED=∠CFB CE=CF ,
∴△CDE≌△CBF（AAS）,
∴DE=BF．
∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,
∴∠MAC=∠NAC=60°,∴∠ECA=∠FCA=30°,
在Rt△ACE与Rt△ACF中,则有AE=1 2 AC,AF=1 2 AC,
则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=1 2 AC+1 2 AC=AC．
∴AD+AB=AC