数学物理题(用微积分算的)已知物体在空中下落时受到的阻力和速度成正比,表示为f=kv ,k为已知常数.一个质量为 m 的物体在足够高的地方从静止开始下落,求其速度和下落时间的关系式?（已知

Question

数学物理题(用微积分算的)
已知物体在空中下落时受到的阻力和速度成正比,表示为f=kv ,k为已知常数.一个质量为 m 的物体在足够高的地方从静止开始下落,求其速度和下落时间的关系式?（已知重力加速度为g）
(是用到数学微积分来算的)

Answer 1

设这个物体下落时的加速度为a(t).由加速度的定义可以得到a(t)=dv/dt.
那么由牛顿第二定律,可以得到物体的运动方程：
m*(dv/dt)=mg-kv,即(dv/dt)+(k/m)*v=g.
下面需要一点技巧啦：
用e^[kt/m]同乘以以上方程的两边.（e^[kt/m]表示e的kt/m次方）
得：e^[kt/m](dv/dt)+(k/m)*e^[kt/m]*v=g*e^[kt/m],也就是：
d[v*e^[kt/m]]=g*e^[kt/m],积分,得：
v*e^[kt/m]=(mg/k)*e^[kt/m]+C,整理,得：
v=(mg/k)+Ce^[-kt/m].
由于物体在足够高的地方从静止开始下落,那么有：
0=(mg/k)+C,得：C=-mg/k.
于是v=mg(1-e^[-kt/m])/k.