已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥面PBC；（Ⅱ）在BC边上找一点Q，使PQ∥面A1ABB1，并求三棱锥Q-PBB1的体积．

Question

已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA₁=4且AA₁⊥底面ABCD，点P为DD₁的中点．

（Ⅰ）求证：AB₁⊥面PBC；
（Ⅱ）在BC边上找一点Q，使PQ∥面A₁ABB₁，并求三棱锥Q-PBB₁的体积．

Answer 1

解（1）取AA₁中点M，连结BM，PM，
在PM∥AD∥BC，∴BM⊂平面PBC．
∵AA₁⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴AA₁⊥BC，
∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
又AB⊂平面ABB₁A₁，AA₁⊂平面ABB₁A₁，AB∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，∵AB₁⊂平面ABB₁A₁，
∴BC⊥AB₁．
∵AB=AA₁=4，∠BAM=∠B₁A₁A=90°，AM=B₁A₁=2，
∴△ABM≌△A₁AB₁，∴∠MBA=∠B₁AA₁，
∵∠BAB₁+∠B₁AA₁=90°，∴∠MBA+∠BAB₁=90°，
∴BM⊥AB₁，
∵BM⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，BM∩BC=B，
∴AB₁⊥面PBC．
（2）在BC边上取一点Q，使BQ=3，
∵PM为梯形ADD₁A₁的中位线，A₁D₁=2，AD=4，
∴PM=3，PM∥AD，又∵BQ∥AD，
∴PM

∥

.

BQ，
∴四边形PMBQ是平行四边形，
∴PQ∥BM，又BM⊂平面A₁ABB₁，PQ⊄平面A₁ABB₁，
∴PQ∥平面A₁ABB₁．
∵BC⊥平面ABB₁A₁，BM⊂平面ABB₁A₁，
∴BQ⊥BM，
∵AB=AA₁=4，AM=A₁B₁=2，∴BM=AB₁=2√(5)，
设AB₁∩BM=N，则AN=(AB•AM)/(BM)=(4√(5))/(5)．∴B₁N=AB₁-AN=(6√(5))/(5)．
∴V B1-BPQ=(1)/(3)S_△BPQ•B₁N=(1)/(3)×(1)/(2)×3×2√(5)×(6√(5))/(5)=6．