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已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形,AA1=4且AA1⊥底面ABCD,点P为DD1的中点.(Ⅰ)求证:AB1⊥面PBC;(Ⅱ)在BC边上找一点Q,使PQ∥面A1ABB1,并求三棱锥Q-PBB1的体积.
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已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形,AA1=4且AA1⊥底面ABCD,点P为DD1的中点.

(Ⅰ)求证:AB1⊥面PBC;
(Ⅱ)在BC边上找一点Q,使PQ∥面A1ABB1,并求三棱锥Q-PBB1的体积.

(Ⅰ)求证:AB1⊥面PBC;
(Ⅱ)在BC边上找一点Q,使PQ∥面A1ABB1,并求三棱锥Q-PBB1的体积.
▼优质解答
答案和解析
解(1)取AA1中点M,连结BM,PM,
在PM∥AD∥BC,∴BM⊂平面PBC.
∵AA1⊥面ABCD,BC⊂面ABCD,∴AA1⊥BC,
∵ABCD是正方形,∴AB⊥BC,
又AB⊂平面ABB1A1,AA1⊂平面ABB1A1,AB∩AA1=A,
∴BC⊥平面ABB1A1,∵AB1⊂平面ABB1A1,
∴BC⊥AB1.
∵AB=AA1=4,∠BAM=∠B1A1A=90°,AM=B1A1=2,
∴△ABM≌△A1AB1,∴∠MBA=∠B1AA1,
∵∠BAB1+∠B1AA1=90°,∴∠MBA+∠BAB1=90°,
∴BM⊥AB1,
∵BM⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,BM∩BC=B,
∴AB1⊥面PBC.
(2)在BC边上取一点Q,使BQ=3,
∵PM为梯形ADD1A1的中位线,A1D1=2,AD=4,
∴PM=3,PM∥AD,又∵BQ∥AD,
∴PM
BQ,
∴四边形PMBQ是平行四边形,
∴PQ∥BM,又BM⊂平面A1ABB1,PQ⊄平面A1ABB1,
∴PQ∥平面A1ABB1.
∵BC⊥平面ABB1A1,BM⊂平面ABB1A1,
∴BQ⊥BM,
∵AB=AA1=4,AM=A1B1=2,∴BM=AB1=2
,
设AB1∩BM=N,则AN=
=
.∴B1N=AB1-AN=
.
∴V B1-BPQ=
S△BPQ•B1N=
×
×3×2
×
=6.
在PM∥AD∥BC,∴BM⊂平面PBC.
∵AA1⊥面ABCD,BC⊂面ABCD,∴AA1⊥BC,

∵ABCD是正方形,∴AB⊥BC,
又AB⊂平面ABB1A1,AA1⊂平面ABB1A1,AB∩AA1=A,
∴BC⊥平面ABB1A1,∵AB1⊂平面ABB1A1,
∴BC⊥AB1.
∵AB=AA1=4,∠BAM=∠B1A1A=90°,AM=B1A1=2,
∴△ABM≌△A1AB1,∴∠MBA=∠B1AA1,
∵∠BAB1+∠B1AA1=90°,∴∠MBA+∠BAB1=90°,
∴BM⊥AB1,
∵BM⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,BM∩BC=B,
∴AB1⊥面PBC.
(2)在BC边上取一点Q,使BQ=3,
∵PM为梯形ADD1A1的中位线,A1D1=2,AD=4,
∴PM=3,PM∥AD,又∵BQ∥AD,
∴PM
∥ |
. |
∴四边形PMBQ是平行四边形,
∴PQ∥BM,又BM⊂平面A1ABB1,PQ⊄平面A1ABB1,
∴PQ∥平面A1ABB1.
∵BC⊥平面ABB1A1,BM⊂平面ABB1A1,
∴BQ⊥BM,
∵AB=AA1=4,AM=A1B1=2,∴BM=AB1=2
5 |
设AB1∩BM=N,则AN=
AB•AM |
BM |
4
| ||
5 |
6
| ||
5 |
∴V B1-BPQ=
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
5 |
6
| ||
5 |
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