将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是．

Question

将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是___．

Answer 1

∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，
圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，
∴三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，
∴当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，
当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，
（S_△EFG）_max=(1)/(2)×4×2=4，
∴三棱锥O-EFG体积的最大值V_max=(1)/(3)×(S△EFG)max×AB=(1)/(3)×4×3=4．
故答案为：4．