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已知直线l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的一平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线.求证:D1B1平行于已知直线l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的一平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线.求证:D1B1平

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已知直线l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的一平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线.求证:D1B1 平行于
已知直线l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的一平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线.求证:D1B1 平行于直线 l
▼优质解答
答案和解析
延长CB至E,使BE=CB.
∵ABCD-AB1C1D1是正方体,∴DD1=BB1、AD=BC、∠ADD1=∠EBB1=90°,
∵BE=CB、AD=BC,∴EB=AD,又DD1=BB1、∠ADD1=∠EBB1,∴△ADD1≌△EBB1,
∴AD1=EB1.
∵ABCD-AB1C1D1是正方体,∴D1C1=AB、B1C1=BC、∠B1C1D1=∠EBA=90°.
∵B1C1=BC、BE=CB,∴B1C1=EB,又D1C1=AB、∠B1C1D1=∠EBA,
∴△B1C1D1≌△EBA,∴B1D1=EA.
由AD1=EB1、B1D1=EA,∴AEB1D1是平行四边形,∴A、E、B1、D1共面,且D1B1∥AE.
显然,AE是平面AC1D1、平面ABCD的交线,∴直线l=AE,∴D1B1∥直线l.