如图已知多面体ABCDE中AB⊥平面ACD三角形ACD是正三角形且AD=DE=2AB=1F是CD的中点.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求多面体ABCDE的体积;(3)求二面角C-BE-D的正切值.

Question

如图 已知多面体ABCDE中 AB⊥平面ACD 三角形ACD是正三角形 且AD=DE=2 AB=1 F是CD的中点.

(1)求证:AF∥平面BCE;

(2)求多面体ABCDE的体积;

(3)求二面角C-BE-D的正切值.

Answer 1

(1)证明:如图 取CE中点M 连结FM、BM 则有FMDEAB ∴四边形AFMB是平行四边形.∴AF∥BM.∵BM平面BCE AF平面BCE ∴AF∥平面BCE.(2)解:由DE⊥平面ACD 则DE⊥AF 又△ACD是等边三角形 则AF⊥CD.而CD∩DE=D 因此AF⊥面CDE.又BM∥AF 则BM⊥平面CDE.VABCDE=VB—ACD+VB—CDE=.(3)解:设G为AD中点 连结CG、BG、EG 则CG⊥AD.由DE⊥平面ACD CG平面ACD 则DE⊥CG 又AD∩DE=D ∴CG⊥平面ADEB.作GH⊥BE于H 连结CH 则CH⊥BE ∴∠CHG为二面角CBED的平面角 由已知AB=1 DE=AD=2 则CG=.∴S△GBE=(1+2)·2-×1×1-×2×1=.易知BE= ∴S△GBE=.∴GH=.∴tan∠CHG=.