（2014•葫芦岛一模）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平

Question

（2014•葫芦岛一模）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角H-BD-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，
∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，
∴ON∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴ON⊥平面ABCD，
由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．
∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，
∴A（0，-√(3)，0），B（1，0，0），D（-1，0，0），E（-1，0，3），F（1，0，3），C（0，√(3)，0），H（(1)/(2)，(√(3))/(2)，(3)/(2)）
∵AC⊥平面BDEF，
∴平面BDEF的法向量

AC

=（0，2√(3)，0）．
设直线DH与平面BDEF所成角为α，
∵

DH

=（(3)/(2)，(√(3))/(2)，(3)/(2)），
∴sinα=|cos＜

DH

，

AC

＞|=|(DH•AC)/(|DH||AC|)|=(√(7))/(7)，
∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为(√(7))/(7)；
（Ⅲ）由（Ⅱ），得

BH

=（-(1)/(2)，(√(3))/(2)，(3)/(2)），

DB

=（2，0，0）．
设平面BDH的法向量为

n

=（x，y，z），则

−x+√(3)y+3z＝0

2x＝0

令z=1，得

n

=（0，-√(3)，1）
由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为

ED

=（0，0，-3），
则cos＜

n

，

ED

＞=(n•ED)/(|n||ED|)=-(1)/(2)，
由图可知二面角H-BD-C为锐角，
∴二面角H-BD-C的大小为60°．