在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE=AD=EF=12BC，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：平面EGD⊥平面BDF．

Question

在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE=AD=EF=(1)/(2)BC，G是BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：平面EGD⊥平面BDF．

Answer 1

证明：（1）∵AD∥EF，EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中点，
∴AD=BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB∥DG．
∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，
∴AB∥平面DEG．
（2）连接GF，四边形ADFE是矩形，
∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，
∴DF⊥平面BCFE，
又∵EG⊂平面BCFE，
∴DF⊥EG．
∵EF=BG，EF∥BG，EF=BE，
∴四边形BGFE为菱形，
∴BF⊥EG，
又BF∩DF=F，BF⊂平面BFD，DF⊂平面BFD，
∴EG⊥平面BDF．
∵EG⊂平面EGD，
∴平面EGD⊥平面BDF．