如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=2，求多面体ABCDEF的体积V．

Question

如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）若AE=√(2)，求多面体ABCDEF的体积V．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，
∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，
∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．
（Ⅱ） 连结AC，交BD于O，
∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．
∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，
∵AE=√(2)，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，
∴AO=CO=(√(3))/(2)，
∴多面体ABCDEF的体积：
V=2V_A-BDEF=2×(1)/(3)×AO×S正方形BDEF
=2×(1)/(3)×(√(3))/(2)×12
=(√(3))/(3)．