如图所示，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，且AB=4，SA⊥平面ABCD，∠SDA=60°，E、F、G分别是SC、SD、AC上的点，且SEEC=SFFD=AGGC．（1）求证：FG∥平面SAB；（2）若平面ABE⊥平面SCD，求多面体SABEF

Question

如图所示，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，且AB=4，SA⊥平面ABCD，∠SDA=60°，E、F、G分别是SC、SD、AC上的点，且(SE)/(EC)=(SF)/(FD)=(AG)/(GC)．

（1）求证：FG∥平面SAB；
（2）若平面ABE⊥平面SCD，求多面体SABEF的体积．

Answer 1

证明：（1）连结EG．
∵(SE)/(EC)=(AG)/(GC)，(SF)/(FD)=(SE)/(EC)，
∴EG∥SA，EF∥CD，又AB∥CD，
∴EF∥AB，
∵EF⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，AB⊂平面SAB，SA⊂平面SAB，EF∩EG=E，SA∩AB=A，
∴平面EFG∥平面SAB．
∵FG⊂平面EFG，
∴FG∥平面SAB．
（2）∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴SA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩SA=A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，
∴AB⊥平面SAD，
∵EF∥AB，
∴EF⊥平面SAD，
∵SF⊂平面SAD，AF⊂平面SAD，
∴EF⊥AF，EF⊥SF，
∵平面ABE⊥平面SCD，平面ABE∩平面SCD=EF，SF⊂平面SCD，
∴SF⊥平面ABEF．
∵AB=CD=AD=4，∠SDA=60°，
∴DF=2，AF=2√(3)，SD=8，
∴SF=6．
∵(EF)/(CD)=(SF)/(SD)=(3)/(4)，
∴EF=3．
∴V_S-ABEF=(1)/(3)S梯形ABEF•SF=(1)/(3)×(1)/(2)×(3+4)×2√(3)×6=14√(3)．