如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F在CD上（不含C，D两点）（1）求多面体ABCDE的体积；（2）若F为CD中点，求证：EF⊥面BCD；（3）当DFFC的值为多少时，能使AC∥

Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F在CD上（不含C，D两点）
（1）求多面体ABCDE的体积；
（2）若F为CD中点，求证：EF⊥面BCD；
（3 ） 当(DF)/(FC)的值为多少时，能使AC∥平面EFB，并给出证明．

Answer 1

（1）过C作CH⊥AB于H，
∵AE⊥平面ABC，AE⊂平面AEDB，∴平面AEDB⊥平面ABC，
∵平面AEDB∩平面ABC=AB，CH⊂平面ABC，CH⊥AB
∴CH⊥平面ABDE，可得CH就是四棱锥C-ABED的高
∵梯形ABDE的面积为S=(1)/(2)（AE+BD）•AB=3，CH=(√(3))/(2)AB=√(3)
∴多面体ABCDE的体积为：V＝(1)/(3)SABDE×CH＝√(3)-------（6分）
（2）取BC中点M，连接AM、FM，
∵BD∥AE，AE⊥平面ABC，可得BD⊥平面ABC，∴BD⊥AM
∵正△ABC中，AM⊥CB，CB、BD是平面BCD内的相交直线，∴AM⊥平面BCD
∵AE∥BD且AE=(1)/(2)BD，在△BCD中，FM∥BD且FM=(1)/(2)BD
∴AE∥FM且AE=FM，由此可得四边形AEFM是平行四边形，可得EF∥AM
∴EF⊥平面BCD----------（10分）
（3）延长BA交DE延长线于N，连接BE，过A作AP∥BE，交DE于P，连接PC．
则当DF：FC=2：1时，AC∥平面EFB，证明如下
∵(DE)/(EP)＝(2)/(1)＝(DF)/(FC)，∴PC∥EF
∵PC⊄平面EFB，EF⊂平面EFB，∴PC∥平面EFB，同理可证AP∥平面EFB
∵PC、AP是平面PAC内的相交直线，∴平面PAC∥平面EFB
∵AC⊂平面PAC，∴AC∥平面EFB
即当(DF)/(FC)的值为2时，能使AC∥平面EFB---------------------（16分）