平面上有n条直线,每条恰好与其他n-1条直线中的2009条相交,求n的所有可能值.

Question

平面上有n条直线,每条恰好与其他n-1条直线中的2009条相交,求n的所有可能值.

Answer 1

n条直线可分为k组,每组内有aj(j=1,2,…,k)条直线,同一组内任意两条直线平行,不同组的直线相交,那么
a1＋a2＋…＋ak＝n,
对于任何一个j,aj中的任何一条直线l,与l相交的直线有
a1＋a2＋…＋ ak - aj=2009,也就是n－aj=2009,
将j取遍1,2,3,…,k,可得
n－a1=2009,
n－a2=2009,
………
n－ak=2009,
将以上等式相加得：
nk-(a1＋a2＋…＋ak)=2009k
即nk-n=2009k,
亦即n=(n-2009)k,这说明n-2009是n的约数,而
2009＝n-(n-2009),
这说明n-2009也是2009的约数,而
2009=1×7×7×41,其约数为：1,7,41,49,287,2009,
所以n-2009的可取值是：1,7,41,49,287,2009,
所以n的可取值是2010,2016,2050,2058,2298,4018.