在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的．符合这样要求的等差数列有多少个？

Question

在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的．符合这样要求的等差数列有多少个？

Answer 1

设三个数分别为X、X+6、X+6+6．
两位数化为五进制数，最小20，最大400，也就是这三个数的五进制数必然是2位或3位．最小的数必然是2位．
设其五进制数形式后两位为AB，则根据题意“在五进制的表示中，这三个数的数字和依次减少”知
AB+11时发生一次进位，AB+22 时发生两次进位．
【由十进制加法，进位1次，数字和少9得到的推论】
因此有：
①AB+11进位在A上，AB+22进位在A、B上：
B+1＜5，B+2≥5，B=3
A+1＞5，A＜5，A=4
则由[43]5=23、[143]5=48、[243]5=73、[343]5=98（舍弃）
得这三个数可能是
23、29、35；
48、54、60；
73、79、85．
②AB+11进位在B上，AB+22进位在A、B上：
B＜5，B+1≥5，B=4
A+1+1＜5，A+2+1≥5，A=2
则由[24]5=14、[124]5=39、[224]5=64、[324]5=89（舍弃）
得这三个数可能是
14、20、26；
39、45、51；
64、70、76；
综上共有6组：
23、29、35；
48、54、60；
73、79、85．
14、20、26；
39、45、51；
64、70、76．