已知函数f（x）=cos2x+asinx在区间（0，nπ）内恰有8个零点，则实数a的取值范围与最小正整数n的值分别为（）A.（-1，1），2B.（-1，1），4C.[-1，1]，2D.[-1，1]，4

Question

已知函数f（x）=cos2x+asinx在区间（0，nπ）内恰有8个零点，则实数a的取值范围与最小正整数n的值分别为（　　）

A. （-1，1），2

B. （-1，1），4

C. [-1，1]，2

D. [-1，1]，4

Answer 1

f（x）=cos2x+asinx=-2sin²x+asinx+1，
令sinx=t，则g（t）=-2t²+at+1，
∵g（t）的图象开口向下，且g（0）=1，
∴若使正整数n最小，则g（t）=0的两个解都在（-1，1）上，
则g（-1）<0且或g（1）<0，
则-2-a+1<0且-2+a+1<0，
故-1而当sinx=t，t∈（-1，1）时，方程在一个周期内有两个解；
∵函数f（x）=cos2x+asinx在区间（0，nπ）内恰有8个零点，
∴y=sinx要有两个周期，
∴n的最小值为4，
故选B．