已知函数f（x）=x3+ax2+bx有两个极值点x1、x2，且x1<x2，若x1+2x0=3x2，函数g（x）=f（x）-f（x0），则g（x）（）A.恰有一个零点B.恰有两个零点C.恰有三个零点D.至多两个零点

Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx有两个极值点x₁、x₂，且x₁<x₂，若x₁+2x₀=3x₂，函数g（x）=f（x）-f（x₀），则g（x）（　　）

A. 恰有一个零点

B. 恰有两个零点

C. 恰有三个零点

D. 至多两个零点

Answer 1

f（x）=x³+ax²+bx，求导，f′（x）=3x²+2ax+b，由函数f（x）有两个极值点x₁、x₂，
则x₁、x₂是方程3x²+2ax+b=0的两个根，则x₁+x₂=-(2)/(3)a，x₁x₂=(b)/(3)，
∴a=-(3(x1+x2))/(2)，①
由x₁+2x₀=3x₂，则x₀=(3x2-x1)/(2)=x₂+(x2-x1)/(2)>x₂，
由函数图象可知：令f（x₁）=f（x）的另一个解为m，
则x³+ax²+bx-f（x₁）=（x-x₁）²（x-m），
则

2x1+m=-a

2x1m+

x

2 1

=b

，则m=-a-2x₁，
将①代入②整理得：m=(3(x1+x2))/(2)-2x₁=(3x2-x1)/(2)=x₀，∴f（x）=f（m）=f（x₀），
∴g（x）只有两个零点，即x₀和m，
故选：B．