函数y=1+2x+4xa在x∈（-∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是．

Question

函数y=1+2^x+4^xa在x∈（-∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是______．

Answer 1

由题意，得1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
∴a＞-(1+2x)/(4x)在x∈（-∞，1]上恒成立．
又∵t=-(1+2x)/(4x)=-（(1)/(2)）^2x-（(1)/(2)）^x=-[（(1)/(2)）^x+(1)/(2)]²+(1)/(4)，
当x∈（-∞，1]时t的值域为（-∞，-(3)/(4)]，
∴a＞-(3)/(4)；
即a的取值范围是（-(3)/(4)，+∞）；
故答案为：（-(3)/(4)，+∞）．