设a∈R，函数f（x）=x|x-a|-a，若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，则（）A.a≤1或a≥92B.a≤43或a≥72C.a≤1或a≥72D.a≤43或a≥92

Question

设a∈R，函数f（x）=x|x-a|-a，若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，则（　　）

A. a≤1或a≥

(9)/(2)

B. a≤

(4)/(3)或a≥(7)/(2)

C. a≤1或a≥

(7)/(2)

D. a≤

(4)/(3)或a≥(9)/(2)

Answer 1

∵f（x）=x|x-a|-a
当x≥a时，f（x）=x（x-a）-a=x²-ax-a
∴x²-ax-a≥0恒成立，
∴a≤x+1+(1)/(x+1)-2，
令g（x）=x+1+(1)/(x+1)，知函数在[2，3]上递增，
∴g（x）≥g（2）=(10)/(3)，
∴a≤(10)/(3)-2=(4)/(3)，显然x≥a，
故a≤(4)/(3)；
当x≤a时，f（x）=x（a-x）-a=-x²+ax-a
∴-x²+ax-a≥0 恒成立，
∴a≥x-1+(1)/(x-1)+2，
令g（x）=x-1+(1)/(x-1)，知函数在[2，3]上递增，
∴g（x）≤g（3）=(5)/(2)，
∴a≥(9)/(2)，显然x≤a，
故a≥(9)/(2)；
综上，a的取值范围是a≤4/3或a≥9/2．
故选D．