在正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）若E、F分别为AD、AA1的中点，求证：EF∥平面AB1C；（2）求平面B1AC与平面ABC所成锐二面角的正切值．

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）若E、F分别为AD、AA₁的中点，求证：EF∥平面AB₁C；
（2）求平面B₁AC与平面ABC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

（1）如图所示，连接A₁D，
由E、F分别为AD、AA₁的中点，
则EF∥A₁D，
由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
所以A₁D∥B₁C，所以EF∥平面AB₁C．
（2）连接AC，BD交于点O，连接B₁O，
则∠B₁OB为所求．
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则BB₁=1，BD=(√(2))/(2)，
∴tan∠B₁OB=(1)/((√(2))/(2))=√(2)．