一个多位项最后一位移到第一位前面,得到的数是原来的2倍,求原数

Question

一个多位项最后一位移到第一位前面,得到的数是原来的2倍,求原数

Answer 1

我们设原数去掉最后一位数后剩的是n位数,数值是a,却掉的数是b
则 原数 =10a+b
把最后一位b移到第一位的前面的数就是 b*10^n+a
且b是个位数
根据题意,我们有：
b*10^n+a=2(10a+b)
即 b*(10^n-2)=19a
显然 b与19互质,只能是 10^n-2是19的倍数.
我们记 c[n]=10^n-2 (mod 19)
显然 c[1]=8
c[n+1]=(c[n]+2)*10-2=10c[n]+1 (mod 19)
我们能验出n>17以后 c[n]=18,而n