河内塔问题与规律解题,有三根柱子,叫：1号,2号,3号.1号杆上有从大到小的三颗珠子.（最大的在下面,上面一个比一个小）你能借助2号杆把1号杆上的珠子移道3号杆上而不改变顺序吗?最少移动

Question

河内塔问题与规律解题
,有三根柱子,叫：1号,2号,3号.1号杆上有从大到小的三颗珠子.（最大的在下面,上面一个比一个小）
你能借助2号杆把1号杆上的珠子移道3号杆上而不改变顺序吗?
最少移动多少次?
移动规则如下：
（1）每次只能移动一颗珠子；
（2）大珠子不能放在小珠子的上面；
如果1号杆上有4个呢?
（用图来回答）

Answer 1

河内塔问题与规律解题
河内塔问题是印度的一个古老的传说.开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒,第一根上面套着64个圆的金片,最大的一个在底下,其余一个比一个小,依次叠上去,庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上,规定可利用中间的一根棒作为帮助,但每次只能搬一个,而且大的不能放在小的上面.问：如何移?最少要移动多少次?
四年级的数学课本中就有这样的问题：
有三根杆子A,B,C.A杆上有N个 穿孔圆盘,盘的尺寸由下到上依次变小.要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：
1.每次只能移动一个圆盘；
2.大盘不能叠在小盘上面.
提示：可将圆盘临时置于B杆,也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆,但都必须尊循上述两条规则.
问：如何移?最少要移动多少次?
解析：对于此题,我们一遇到此类题是不是有点让人烦恼!为什么要来回移动呢?一下整体搬过去不就好了吗?
所以在遇到此类题时,一定要冷静,不要急于做,而要思考,看看我们有什么方法找到一种能够比较简单的规律.
第一,先我们将复杂的问题简单化,考虑一下一些简单的问题,这是我们解决此类问题的关键,就是当我们对一些较大的数形成的复杂逻辑不能够理清时,我们要从最基本最简单的数字如1,2,3,开始.如下
假如只有1个穿孔圆盘,就需要移动1次.A→C 1 次
假如只有2个穿孔圆盘,就需要移动3次.A→B,A→C,B→C 3次
假如只有3个穿孔圆盘,这时我们可以将上面的2个圆盘看做是一个整体,也就是将3分解成1+2.来考虑.如我们将最大的第三个圆盘,取消,只剩2个圆盘,这时借助C柱,移动3次可以让2个圆盘到从A到B柱.再考虑最大的圆盘,移动最大的第三个圆盘到C柱.这时借助A柱,移动3次可以让2个圆盘从B到C柱.就需要移动7次.
第二,从移动的次数中,寻找可以被我们利用的规律.
这7次中,前有3次是为了将上面的2个圆盘从A到B柱,中间1次是最大的圆盘A→C移动,后3次是为了将上面的2个圆盘从B到C柱移动.
从上面的两个3次的移动看,两个圆盘的移动必须经过3次方可成功.这也就是是2个圆盘必须经过3次移动才能从一个柱子到另一柱子.同理我们从这一步的7次移动来看,这也就是是3个圆盘必须经过7次移动才能从一个柱子到另一柱子
另外我们从移动次数的结果数据：1,3,7,这样的数据分析,就得出这样一个规律：
每增加1个圆盘的次数就是在前面既原来的次数的两倍的基础上,再加1次.
于是我们就可以根据上面的规律得出以下的结论：
有4个穿孔圆盘,最少的次数,15次.（是否正确,可以自己验证一下）
有5个穿孔圆盘,最少的次数,31次.
有6个穿孔圆盘,最少的次数,63次.
我们将次数写出一个数列,就得到如下数列：
1,3,7,15,31,63,……
这时我们就会发现它和我们知道它和我们上一讲讲到的一个如下数列非常相似.
2,4,8,16,32,64,128 ……
而上面的移动次数与数列有一个配合的规律,这时我们马上就明白了,这道题的答案：2n-1.
如何用启迪的方法,让孩子学会思考此类题目呢?
一．遇到此类题目,我们不能够就此题完全说明清楚,因为我们知道此题需要一些数列的知识时,我们不妨先放一下此题,而让孩子复习一下以前的数列知识点.
先让孩子做一些数列找规律的题目：
1.根据以下数列找出它们的规律,并写出第10个数是多少,1000个数是多少?推算出一种可以表达规律的公式,
1）1,3,5,7,9,……
2）2,4,6,8,10,……
3）3,7,11,15,19,……
4）2,4,8,16,32,……
2.根据公式写出数列：
1）2n+3
2) 2n
3) 4×3n
……
二．然后让孩子思考本题的题意,请按下列步骤进行提示：
1）假如只有1个穿孔圆盘,如何移动?
需要移动1次.A→C 1 次
2）假如只有2个穿孔圆盘,如何移动?
需要移动3次.A→B,A→C,B→C 3次
3）假如只有3个穿孔圆盘,如何移动?是不是可以分解成1+2的形式呢?
如我们将最大的第三个圆盘,取消,只剩2个圆盘,这时借助C柱,移动3次可以让2个圆盘到从A到B柱.再考虑最大的圆盘,移动最大的第三个圆盘到C柱.这时借助A柱,移动3次可以让2个圆盘从B到C柱.就需要移动7次.
总结性的暗示：
这7次中,前有3次是为了将上面的2个圆盘从A到B柱,中间1次是最大的圆盘A→C移动,后3次是为了将上面的2个圆盘从B到C柱移动.
4）看看有什么规律?
5）在规律的基础上,分析规律的正确性,并测算下一步(四个圆盘）的答案.
6）验证答案的正确性.
7）继续规律预测,并测算下一步的答案.
8）将移动次数列成数列.
9）根据数量做出数量的表示公式.
三,本题总结：
1）如何对一些复杂问题进行简单化的思考的方法和步骤?
2）如何从简单的步骤里求解有规律的概念?
3）如何从数列中求解规律公式?然后通过公式来求解问题?