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设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图所示），要求满足条件AB+BC+CD=a（常数），∠ABC=120°，写出横截面的面积y与腰长x的关系式，并求它的定义域和值．
题目详情
设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图所示），要求满足条件AB+BC+CD=a（常数），∠ABC=120°，写出横截面的面积y与腰长x的关系式，并求它的定义域和值．▼优质解答
答案和解析
如图所示，
∵腰长AB=x，∠ABC=120°，∴高h=xcos30°=
x；
∴上底BC=a-2x（0＜x＜
），
下底AD=BC+2•xsin30°=（a-2x）+2x•
=a-x；
∴横截面的面积为
y=
[（a-2x）+（a-x）]•
x=-
x2+
ax（0＜x＜
）；
∵0＜x＜
，y=
（-
x2+ax），
∴当x=
时，y取得最大值ymax=
如图所示，∵腰长AB=x，∠ABC=120°，∴高h=xcos30°=
| ||
| 2 |
∴上底BC=a-2x（0＜x＜
| a |
| 2 |
下底AD=BC+2•xsin30°=（a-2x）+2x•
| 1 |
| 2 |
∴横截面的面积为
y=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
| a |
| 2 |
∵0＜x＜
| a |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴当x=
| a |
| 3 |
|
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