设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图所示），要求满足条件AB+BC+CD=a（常数），∠ABC=120°，写出横截面的面积y与腰长x的关系式，并求它的定义域和值．

Question

设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图所示），要求满足条件AB+BC+CD=a（常数），∠ABC=120°，写出横截面的面积y与腰长x的关系式，并求它的定义域和值．

Answer 1

如图所示，
∵腰长AB=x，∠ABC=120°，∴高h=xcos30°=(√(3))/(2)x；
∴上底BC=a-2x（0＜x＜(a)/(2)），
下底AD=BC+2•xsin30°=（a-2x）+2x•(1)/(2)=a-x；
∴横截面的面积为
y=(1)/(2)[（a-2x）+（a-x）]•(√(3))/(2)x=-(3√(3))/(4)x²+(√(3))/(2)ax（0＜x＜(a)/(2)）；
∵0＜x＜(a)/(2)，y=(√(3))/(2)（-(3)/(2)x²+ax），
∴当x=(a)/(3)时，y取得最大值y_max=

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