老师,通项为nx/(1+n^5*x^2)的级数在其收敛域上是否一致收敛?

Question

老师,通项为nx/(1+n^5 * x^2)的级数在其收敛域上是否一致收敛?

Answer 1

U‹n›(x)=nx/(1+n⁵x² )的级数在其收敛域上是否一致收敛?
当x=0时U‹n›(x)≡0,当然一致收敛为0；当x>0时,由于U‹n›(x)=nx/(1+n⁵x² )=n/[(1/x)+n⁵x)≧n/(2√n⁵)>n/√n⁵=1/[n^(3/2)]
而数项级数∑{1/[n^(3/2)]}是一个p=3/2>1的p级数,是收敛的,按外耳什特拉斯判别法,原函数项
级数∑[nx/(1+n⁵x² )]在其收敛域上一致收敛.
当x0时相同的结果.
因此该函数项级数在(-∞,+∞)上收敛,且一致收敛.