p元有限域Fp上的问题.考虑p元有限域F(p)={0,1,2...,p-1},记Hp=1-1/2+1/3-1/4+...-1/(p-1).问是否存在素数p>=3.使得Hp=0?

Question

p元有限域Fp上的问题.
考虑p元有限域F(p)={0,1,2...,p-1},记Hp=1-1/2+1/3-1/4+...-1/(p-1).
问是否存在素数p>=3.使得Hp=0?

Answer 1

是存在的.
我用软件搜索了p < 200000的情况,只找到p = 1093,3511两个例子.
找到这两个例子才注意到它们是所谓Wieferich素数,即满足2^(p-1) ≡ 1 (mod p²)的素数.
英文wiki"Wieferich prime"词条"Equivalent definitions"一节提到两种刻画是等价的.
因此根据最近的搜索结果,在1.2×10^17以下也只有这两个例子.