M是一个非空集合验证M运算是封闭的设M是一个非空集合.f是一种运算.如果对于集合M中任意两个元素p,q,实施运算f的结果仍是集合中的元素,那么就说集合M对于算法f是“封闭的”.已知集合M=｛

Question

M是一个非空集合 验证M运算是封闭的
设M是一个非空集合.f是一种运算.如果对于集合M中任意两个元素p,q,实施运算f的结果仍是集合中的元素,那么就说集合M对于算法f是“封闭的”.已知集合M=｛x|x=a+b根号2,a,b属于Q｝,试验证M对于加法、减法、乘法、除法（除数不为0）运算是封闭的

Answer 1

设x=a+b√2,y=c+d√2,其中a,b,c,d∈Q,因为QM对于加法,减法,乘法和除法的运算是封闭的 ,所以x+y=(a+c)+(b+d)√2∈M,x-y=(a-c)+(b-d)√2∈M,xy=(ac+2bd)+(ad+bc)√2∈M,x/y=(a+b√2）/(c+d√2)=(a+b√2）（c-d√2）/（c^2-2d^2)=(ac-2bd)/(c^2-2d^2)+[(bc-ad)/(c^2-2d^2)]√2∈M.