已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=223，BC=1，AC=3，三棱锥O-ABC的体积为146，则球O的表面积为．

Question

已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=(2√(2))/(3)，BC=1，AC=3，三棱锥O-ABC的体积为(√(14))/(6)，则球O的表面积为______．

Answer 1

△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=(2√(2))/(3)，BC=1，AC=3，
∴sinA=√(1−cos2A)=(1)/(3)，
由正弦定理可知：(BC)/(sinA)＝(AC)/(sinB)，
∴sinB=1，B=90°．斜边AC的中点就是△ABC的外接圆的圆心，
∵三棱锥O-ABC的体积为(√(14))/(6)，
又AB=√(AC2−BC2)=2√(2)，
∴(1)/(3)×(1)/(2)•AB•BC•h=(√(14))/(6)，
∴h=(√(7))/(2)，
∴R=√(((√(7))/(2))2+((3)/(2))2)=2，
球O的表面积为4πR²=16π．
故答案为：16π．