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求微分方程2y"+y'-y=2xe^(-x)的通解
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求微分方程2y"+y'-y=2xe^(-x)的通解
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答案和解析
∵齐次方程2y"+y'-y=0的特征方程是2r²+r-1=0,则r1=-1,r2=1/2
∴齐次方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(x/2) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解是y=(Ax²+Bx)e^(-x)
代入原方程解得A=-1/3,B=-4/9
∴原方程的特解是y=-(x³/3+4x/9)e^(-x)
故原方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(x/2)-(x³/3+4x/9)e^(-x) (C1,C2是积分常数).
∴齐次方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(x/2) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解是y=(Ax²+Bx)e^(-x)
代入原方程解得A=-1/3,B=-4/9
∴原方程的特解是y=-(x³/3+4x/9)e^(-x)
故原方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(x/2)-(x³/3+4x/9)e^(-x) (C1,C2是积分常数).
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