y''+3y'+2y=3xe^(-x)的通解

Question

y''+3y'+2y=3xe^(-x)的通解

Answer 1

y''+3y'+2y=3xe^(-x)
特征方程r^2+3r+2=0的解为r1=-1,r2=-2
因此齐次方程y''+3y'+2y=0的通解为y1=Ae^(-x)+Be^(-2x)
用常数变易法求特解,设y*=A(x)e^(-x)+B(x)e^(-2x)
A'e^(-x)+B'e^(-2x)=0
-A'e^(-x)-2B'e^(-2x)=3xe^(-x)
解得A'=3x,B'=-3xe^x
积分得A=(3/2)x^2+C1,B=(1-3x)e^x+C2,(音只不过是一个特解,可令C1=C2=0)
y*=[(3/2)x^2-3x+1]e^(-x)
原微分方程的通解为
y=y1+y*=Ae^(-x)+Be^(-2x)+[(3/2)x^2-3x+1]e^(-x)