数学分析中为什么有时候一个强的条件可以和一个弱的条件等价一般成立,则特殊一定成立.但很多情况下可以从特殊成立推出一般成立.例如（1）任何单调减少数列趋于零的数列极,n→无穷,f

Question

数学分析中为什么有时候一个强的条件可以和一个弱的条件等价
一般成立,则特殊一定成立.但很多情况下可以从特殊成立推出一般成立.
例如
（1）任何单调减少数列趋于零的数列极,n→无穷,f（xn）存在,
（2）当且仅当x→0+,f（x）存在.
（3）当且仅当任何趋于零的正数列,n→无穷,f（xn）存在
（1）与（3）等价,但（3）明显强于（1）.

Answer 1

粗略地讲,这里(3)比(1)的条件只强一点点,而且稍强的那部分对结论没有贡献.
其实不仅是数学分析,各个分支里都有这种现象.比如线性代数里Ax=0存在一个非零解和存在无穷多个非零解也是等价的,理由也一样,稍强的那部分对结论没什么贡献.
另外还有一种情况是在一定的条件下强的结论和弱的结论等价,比如泛函分析里的共鸣定理,几何里面“存在一个内角和是180度的三角形”和“任意三角形的内角和都是180度”等价.这种现象通常的解释是“一定的条件”补足了强弱间的差距.