如何证明一次函数对应直线,二次函数对应抛物线感觉解析几何不如欧几里得几何严谨.欧几里得有五个公理五个公设,虽然它们不可证明,但是,都是理所当然、不难想象地成立.然后这些公理用

Question

如何证明一次函数对应直线,二次函数对应抛物线
感觉解析几何不如欧几里得几何严谨.欧几里得有五个公理五个公设,虽然它们不可证明,但是,都是理所当然、不难想象地成立.然后这些公理用来证明很多结论.而解析几何,好像没有建立欧氏几何的公理体系.就以函数与图象来说,一次函数和二次函数是简单的函数,而初中课本对此只作简单的介绍,例如用描点法画一次函数的图象,只是画了几个点,然后这几个点在同一条直线上,就断定一次函数的图象是直线,而课外也找不到任何的证明.对于二次函数,为何二次函数的图象是抛物线,为何y=a(x+h)^2+k的顶点是(-h,k),都没有证明.

Answer 1

抛物线即到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹（《解析几何与圆锥曲线》中抛物线的定义）.假设焦点A坐标（-a,0),则准线l方程为y=a.设抛物线上点B的坐标为（x,y),则根据两点间距离公式可知,AB间距离等于（x+a）的平方加上y的平方再开方,即根号下（x+a)2+y2而B到l的距离为y-a.
故(y-a)2=(x+a)2+y2,整理可得二次函数解析式.
这些等你到高二就明白了.