如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=42，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F（1）求证：PCCD=CECB；（2）连接BD，

Question

如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=4√(2)，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F

（1）求证：(PC)/(CD)=(CE)/(CB)；
（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；
（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，
∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，
∴△BCE∽△DCP，
∴(PC)/(DC)=(EC)/(CB)；

（2） AC∥BD，
理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，
∴∠PCE=∠BCD，
又∵(PC)/(DC)=(EC)/(CB)，
∴△PCE∽△DCB，
∴∠CBD=∠CEP=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥BD；

（3） 如图所示：作PM⊥BD于M，
∵AC=4√(2)，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，
∴BE=CE=4，
∵△PCE∽△DCB，
∴(EC)/(CB)=(PE)/(BD)，即(4)/(4√(2))=(x)/(BD)，
∴BD=√(2)x，
∵∠PBM=∠CBD-∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x，
∴PM=(4+x)/(√(2))，
∴△PBD的面积S=(1)/(2)BD•PM=(1)/(2)×√(2)x×(4+x)/(√(2))=(1)/(2)x²+2x．