已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=sinαsinβ，则tanα的最大值是．

Question

已知α，β均为锐角，且cos（α+β）= (sinα)/(sinβ)，则tanα的最大值是___．

Answer 1

知α，β均为锐角，且cos（α+β）=(sinα)/(sinβ)，
则cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）-β]，
化简为：cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
转化为：tan（α+β）=2tanβ，
即(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=2tanβ，
则：2tanαtan²β-tanβ+tanα=0，
所以：△≥0，且两根x₁，x₂均大于0．即x₁+x₂>0．x₁x₂>0
即：1-8tan²α≥0，tanα>0
解得：-(√(2))/(4)≤tanα≤(√(2))/(4)．
由于：α为锐角，
所以：0<tanα≤(√(2))/(4)，
则tanα的最大值为(√(2))/(4)．
故答案为：(√(2))/(4)