如图所示的三角形数阵中，从第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们的和，请问：第999行各数之和被7除所得的余数是多少？

Question

如图所示的三角形数阵中，从第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们的和，请问：第999行各数之和被7除所得的余数是多少？

Answer 1

设每一行的各数之和为S_n，
则S₁=1+1=2，S₂=1+2+1=4，S₃=1+3+2+3+1=10，S₄=1+4+3+5+2+5+3+4+1=28，
S₅=1+5+4+7+3+8+5+7+2+7+5+8+3+7+4+5+1=82，
S₆=1+6+5+9+4+11+7+10+3+11+8+13+5+12+7+9+2+9+7+12+5+13+8+11+3+10+7+11+4+9+5+6+1=244，
S₇=1+7+6+11+5+14+9+13+4+15+11+18+7+17+10+13+3+14+11+19+8+21+13+18+5+17+12+19+7+16+9+11+2+11+9+16+7+19+12+17+5+18+13+21+8+19+11+14+3+13+10+17+7+18+11+15+4+13+9+14+5+11+6+7+1=730，
因为S₂=3S₁-2，S₃=3S₂-2，S₄=3S₃-2，S₅=3S₄-2…
所以S₈=3S₇-2=3×730-2=2188，S₉=3S₈-2=3×2188-2=6562，S₁₀=3S₉-2=3×6562-2=19684；
因为10÷7=1…3，28÷7=4，82÷7=11…5，244÷7=34…6，
730÷7=104…2，2188÷7=312…4，6562÷7=937…3，19684÷7=2812，
所以从S₃开始，除以7的余数分别是3、0、5、6、2、4、3、0…，每6个一个循环，
又因为（999-2）÷6=166…1，
所以第999行各数之和被7除所得的余数是3．
答：第999行各数之和被7除所得的余数是3．