将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以12，将所得的余数写在它们下一行相应的圆圈内．逐行依次进行上面的操作，最后得到最底端的一个数．请问：对于第一行中不同的自然数z，最底

Question

将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以12，将所得的余数写在它们下一行相应的圆圈内．逐行依次进行上面的操作，最后得到最底端的一个数．请问：对于第一行中不同的自然数z，最底端的数一共有多少种取值，分别是什么？

Answer 1

（1）当x=12k时，可得
第2行的四个圆圈中的数分别是：1、5、0、4，
第3行的三个圆圈中的数分别是：6、5、4，
第4行的两个圆圈中的数分别是：11、9，
最底端的数为8．
（2）当x=12k+1时，可得
第2行的四个圆圈中的数分别是：2、6、0、4，
第3行的三个圆圈中的数分别是：8、6、4，
第4行的两个圆圈中的数分别是：2、10，
最底端的数为0．
（3）当x=12k+2时，可得
第2行的四个圆圈中的数分别是：3、7、0、4，
第3行的三个圆圈中的数分别是：10、7、4，
第4行的两个圆圈中的数分别是：5、11，
最底端的数为4．
（4）当x=12k+3时，可得
第2行的四个圆圈中的数分别是：4、8、0、4，
第3行的三个圆圈中的数分别是：0、8、4，
第4行的两个圆圈中的数分别是：8、0，
最底端的数为8．
（5）当x=12k+4时，可得
第2行的四个圆圈中的数分别是：5、9、0、4，
第3行的三个圆圈中的数分别是：2、9、4，
第4行的两个圆圈中的数分别是：11、1，
最底端的数为0．
（6）当x=12k+5时，可得
第2行的四个圆圈中的数分别是：6、10、0、4，
第3行的三个圆圈中的数分别是：4、10、4，
第4行的两个圆圈中的数分别是：2、2，
最底端的数为4．
…，
综上，可得最底端的数一共有3种取值，分别是8、0、4．
答：最底端的数一共有3种取值，分别是8、0、4．