不好意思打扰下~可以请问下在这个问题中P和P^-1为什么不用进行幂运算?为什么只有D变成D^11?设P^-1AP=D,其中P=(-1,-4;1,1),D=(-1,0;0,2),求A^11由P^-1AP=D得A=PDP^-1所以A^11=PD^11P^-1=PD^11P^-1.D^11=-1002^1

Question

不好意思打扰下~可以请问下在这个问题中P和P^-1为什么不用进行幂运算?为什么只有D变成D^11?
设P^-1AP=D,其中P=(-1,-4;1,1),D=(-1,0;0,2),求A^11
由 P^-1AP=D
得 A = PDP^-1
所以 A^11 = PD^11P^-1 = PD^11P^-1.
D^11 =
-1 0
0 2^11
P^-1 =
1/3 4/3
-1/3 -1/3
A^11 = PD^11P^-1 =
(1+2^13)/3 (4+2^13)/3
-(1+2^11)/3 -(4+2^11)/3

Answer 1

楼上回答的没错
根据矩阵的乘法满足结合律, 可得
A^2 = (PDP^-1)(PDP^-1)
= PD(P^-1P)DP^-1
= PD^2P^-1
同理有 A^k = PD^kP^-1.
事实上, 对x的多项式 f(x) = a0+a1x+...+anx^n
f(A) = Pf(D)P^-1.
对 D = diag(-1,2)
f(D) = diag( f(-1), f(2) ).