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如图是一个长为400米的环形跑道,其中A、B为跑道对称轴上的两点,且A、B之间有一条50米的直线通道.甲、乙两人同时从A点出发,甲按逆时针方向以速度v1沿跑道跑步,当跑到B点处时继续沿

题目详情
如图是一个长为400米的环形跑道,其中A、B为跑道对称轴上的两点,且A、B之间有一条50米的直线通道.甲、乙两人同时从A点出发,甲按逆时针方向以速度v1沿跑道跑步,当跑到B点处时继续沿跑道前进,乙按顺时针方向以速度v2沿跑道跑步,当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处.假设两人跑步时间足够长.求:
(1)如果v1:v2=3:2,那么甲跑了多少路程后,两人首次在A点处相遇?
(2)如果v1:v2=5:6,那么乙跑了多少路程后,两人首次在B点处相遇?
▼优质解答
答案和解析
(1)设甲跑了n圈后,两人首次在A点处相遇,再设甲、乙两人的速度分别为v1=3m,v2=2m,
由题意可得在A处相遇时,他们跑步的时间是
400n
3m
(2分)
400n
3m
•2m=
800
3
n(3分)
因为乙跑回到A点处,所以
800
3
n应是250的整数倍,从而知n的最小值是15,(4分)
所以甲跑了15圈后,两人首次在A点处相遇(5分)

(2)设乙跑了250p+200米,甲跑了400q+200米时,两人首次在B点处相遇,设甲、乙两人的速度分别为v1=5m,v2=6m,由题意可得
400q+200
5m
250p+200
6m
,即
8q+4
5
5p+4
6
,(7分)
所以48q+24=25p+20,即48q+4=25p(p,q均为正整数).
所以p,q的最小值为q=2,p=4,(8分)
此时,乙跑过的路程为250×4+200=1200(米).(9分)
所以乙跑了1200米后,两人首次在B点处相遇.(10分)
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