f(n)=n!,g(n)=((n+1)/2)n次方,求f(n)与g(n)关系,并用数学归纳法证明

Question

f(n)=n!,g(n)=((n+1)/2)n次方,求f(n)与g(n)关系,并用数学归纳法证明

Answer 1

题中关系的话应该指的是大小关系 不是数量关系；
那么注意到f 是n个项相乘,g也是n个项相乘,我们考察f中 1*n； 2*(n-1)；3*(n-2)；...
和[(n+1)/2]^2 的关系,我们注意到：
[(n+1)/2]^2>[(n+1)/2+1][(n+1)/2-1]>...>3*(n-2)> 2*(n-1)>1*n
因此将最左边的乘以n/2次就得到g,右边的每一项互相相乘就得到f
于是可知g(n)>f(n)；（n>=2）（这里已经证毕）
数学归纳法如下：
1.显然有n=1时g(n)>=f(n)
2.假设n=k时成立；
3,.我们考虑n=k+1的情况
f(k+1)=f(k)(k+1)