设D为圆周x^2+y^2=R^2所围的闭区域,则∫∫√(x^2+y^2)dxdy=?

Question

设D为圆周x^2+y^2=R^2所围的闭区域,则∫∫√(x^2+y^2)dxdy=?

Answer 1

在极坐标的形式下用换元积分法：
令x=rcosα,y=rsinα,在极坐标中积分区间就变为圆r=R
∫∫√(x^2+y^2)dxdy=
∫∫rdrdα （∫[0,2π]表示从0到2π上积分）
=∫[0,2π]dα∫[0,R]rdr
=∫[0,2π](R^2/2)dα
=(4/3)π^3
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