证明tanA*OA+tanB*OB+tanC*OC=0(OA,OB,OC都是向量)的充要条件是O为三角形的垂心

Question

证明tanA*OA+tanB*OB+tanC*OC=0(OA,OB,OC都是向量)的充要条件是O为三角形的垂心

Answer 1

证明：以三角形是钝角三角形为例来证明：
不放设△ABC中,∠A是钝角,O是垂心,
容易知道O在△ABC外,
连接OA,并延长交BC于D,连接OB,交CA延长线于F,连接OC,交BA延长线于E,则D、E、F都是三边的垂足
tanB=CE/BE,tanC=BE/CE,
∴tanB/(-tanA)
=tanB/tan∠CAE
=(CE/BE)/(CE/AE)
=AE/BE
同理,
tanC/(-tanA)
=tanB/tan∠BAF
=(BF/CF)/(BF/AF)
=AF/CF
过A作AM‖OC,交OB于M,过A作AN‖OB,交OC于N,则
四边形AMON是平行四边形-
∴向量OA=向量OM+向量ON
∴向量OB*tanB/(-tanA)+向量OC*tanC/(-tanA)
=向量OB*(AE/BE)+向量OC*(AF/CF)
=向量OB*(MO/BO)+向量OC*(NO/CO)
=向量OM+向量ON
=向量OA
∴向量OB*tanB+向量OC*tanC=向量OA*(-tanA)
∴向量OA*tanA+向量OB*tanB+向量OC*tanC=向量0