如图,三角形ABC中,角ABC=60度,AB=2根号2,D是线段BC上一个动点,以AD为直径画圆O分别交AB、AC于E、F,

Question

如图,三角形ABC中,角ABC=60度,AB=2根号2,D是线段BC上一个动点,以AD为直径画圆O分别交AB、AC于E、F,

Answer 1

连接OE、OF,∵∠BAC=60° ∴ ∠EOF=120°
设圆O的半径为R,则EF=√3R
连接ED,AD为直径,∴ ∠AED=90° ,∵∠ABC=60° ∴ED=EB
AE=2√2-ED
在三角形AED中 AE^2+ED^2=AD^2
则 （2√2-ED）^2+ED^2=AD^2=4R^2=4/3*EF^2
EF^2=(2*ED^2-4√2ED+8)*3/4
=(ED^2-2√2ED+4)*3/2
=(ED-√2)^2+2)*3/2
当ED=√2时,EF有最小值
EF最小值=√3
或

设圆O的半径为r,
连FO,并延长交圆O于点G,连EG,
因为∠BAC=60°
所以∠EGF=∠BAC=60
因为GF是直径
所以∠GEF=90°
所以EF=√3r,
当半径r取得最小值时,EF有最小值
当AD⊥BC时,AD最小,
因为AB=2√2,∠B=45
所以AD=2
即r=AD/2=1,
所以EF的最小值为√3