（2014•槐荫区二模）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．点P（a、b）是双曲线y=12x上任意一点，过点P向x轴、y轴作垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．（1）

Question

（2014•槐荫区二模）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．点P（a、b）是双曲线y=(1)/(2x)上任意一点，过点P向x轴、y轴作垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．
（1）求点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；
（2）△AOF与△BOE是否相似？若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由．
（3）当点P在双曲线y＝(1)/(2x)上移动时，∠EOF大小是否始终保持不变？若是，求∠EOF度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，易知：直线AB的解析式为y=-x+1，
点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b），

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如图1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=√(2)-√((1−a)2+(1−a)2)=√(2)a，
AF=BA-BF=√(2)-√((1−b)2+(1−b)2)=√(2)b，
∵点P是函数y=(1)/(2x)图象上任意一点，
∴b=(1)/(2a)，即2ab=1，
∴√(2)a×

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