叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界．

Question

叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界．

Answer 1

闭区间套定理：
设闭区间{[a_n，b_n]}满足：[a_n，b_n]⊃[a_n+1，b_n+1]（n∈N₊），

lim

n→∞

(bn−an)＝0，
则存在唯一的ξ，使ξ∈[a_n，b_n]（n∈N₊）且

lim

n→∞

an＝

lim

n→∞

bn＝ξ．
设f是[a，b]上的连续函数，下面用反证法证明f在[a，b]有界．
反设f在[a，b]无界，二等分区间[a，b]，
则存在一子区间[a₁，b₁]，使f在[a₁，b₁]无界，
再二等分[a₁，b₁]，则同样可以得到一个子区间[a₂，b₂]，使f在[a₂，b₂]上无界，
如此无限下去得到一闭区间套{[a_n，b_n]}，f在任意[a_n，b_n]无界．
显然，bn−an＝(b−a)/(2n)→0(n→∞)，由闭区间套定理可以推知ξ∈[a_n，b_n]（n∈N₊）．
由f在ξ的连续性知：存在δ＞0，使f在[a，b]∩[U（ξ，δ）]有界，
而n充分大时，[a_n，b_n]⊂U（ξ，δ），
这与f在[a_n，b_n]上无界矛盾．