已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上

Question

已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．
（1）求线段CF的长；
（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．

Answer 1

（1）过A作AH⊥BC，
∴AH=CD=6，
∵tan∠ABC=2，
∴(AH)/(BH)=2，
∴BH=3，
∴CH=AD=8，
∴AE=(3)/(4)×AD=6=BF，
∴CF=5；

（2）过M作MK⊥BC于K，反向延长KM交AD于Q，则KQ⊥AD，在Rt△FMK中，FM•cos∠EFC=FK=x，
∵∠EFC=∠B，
∴tan∠EFC=2，
∴MK=2x=PC，NP=y-2x，MP=CK=5-x=QD
，∴AQ=8-（5-x）=3+x，QM=6-2x，
∵∠AMN=90°，
∵∠AMQ=∠PMN，∠AQM=∠MPN=90°，
∴△AMQ∽△PMN，
∴(AQ)/(NP)=(QM)/(MP)，即(3+x)/(y-2x)=(6-2x)/(5-x)，
解得：y=(5x2-14x-15)/(2x-6)（0≤x≤1）；

（3）①当M在线段EF上时，
∵AM=MN，△AMQ≌△NMP，
∴△AMQ≌△NMP，
∴QM=MP，
∴6-2x=5-x，
∴x=1，
∴FM=(1)/(cos∠B)=(1)/((1)/(√(5)))=√(5)，
②当M在FE的延长线上时，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMQ+∠NMH=∠NMH+∠MNH=90°，
∴∠AMQ=∠MNH，
在△AMQ与△NMH中，

∠Q=∠H=90°

∠AMQ=∠NMH

AM=MN

，
∴△AQM≌△MNH，
∴AQ=MH，由（2）知FK=x，CK=5-x=MH，MK=2x，=CH，
∴AQ=DH=2x-6，∴2x-6=5-x，∴x=(11)/(3)，
∴FM=((11)/(3))/((1)/(√(5)))=(11)/(3)√(5)，