设函数f（x）=xex-asinxcosx（a∈R，其中e是自然对数的底数）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若对于任意的x∈[0，π2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f

Question

设函数f（x）=xe^x-asinxcosx（a∈R，其中e是自然对数的底数）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若对于任意的x∈[0，(π)/(2)]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间(0，(π)/(2))上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=xe^x，f′（x）=e^x（x+1），
令f′（x）=0，得x=-1，
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗

所以函数f（x）的极小值为f(-1)=-(1)/(e)，无极大值；
（2）①当a≤0时，由于对于任意x∈[0，(π)/(2)]，有sinxcosx≥0，
所以f（x）≥0恒成立，当a≤0时，符合题意；
 ②当0<a≤1时，因为f′（x）≥e^x（x+1）-acos2x≥e⁰（0+1）-acos0=1-a≥0，
所以函数f（x）在[0，(π)/(2)]上为增函数，所以f（x）≥f（0）=0，即当0<a≤1，符合题意；
③当a>1时，f′（0）=1-a<0，f′((π)/(4))=e(π)/(4)((π)/(4)+1)>0，
所以存在α∈(0，(π)/(4))，使得f′（α）=0，且在（0，α）内，f′（x）<0，
所以f（x）在（0，α）上为减函数，所以f（x）<f（0）=0，
即当a>1时，不符合题意，
综上所述，a的取值范围是（-∞，1]；
（3）不存在实数a，使得函数f（x）在区间(0，(π)/(2))上有两个零点，
由（2）知，当a≤1时，f（x）在(0，(π)/(2))上是增函数，且f（0）=0，
故函数f（x）在区间(0，(π)/(2))上无零点，
当a>1时，f′（x）≥e^x（x+1）-acos2x，
令g（x）=e^x（x+1）-acos2x，g′（x）=e^x（x+2）+2asin2x
当x∈(0，(π)/(2))时，恒有g′（x）>0，所以g（x）在(0，(π)/(2))上是增函数，
由g(0)=1-a<0，g((π)/(2))=e(π)/(2)((π)/(2)+1)+a>0，
故g（x）在(0，(π)/(2))上存在唯一的零点x₀，即方程f′（x）=0在(0，(π)/(2))上存在唯一解x₀，
且当x∈（0，x₀）时，f′（x）<0，当x∈(x0，(π)/(2))，f′（x）>0，
即函数f（x）在（0，x₀）上单调递减，在(x0，(π)/(2))上单调递增，
当x∈（0，x₀）时，f（x）<f（0）=0，即f（x）在（0，x₀）无零点；
当x∈(x0，(π)/(2))时，f(x0)<f(0)，f((π)/(2))=(π)/(2)e(π)/(2)>0，
所以f（x）在(x0，(π)/(2))上有唯一零点，
所以，当a>1时，f（x）在