设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2-4ac的值；（2）当△ABC为等边三

Question

设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b²-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b²-4ac的值．

Answer 1

（1）当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴|b²-4ac|=b²-4ac，
∵AB=(√(b2−4ac))/(|a|)，
又∵CD=(b2−4ac)/(4|a|)（a≠0），
∴√(b2−4ac)=(b2−4ac)/(2)，
即√(b2−4ac)=√(((b2−4ac)2)/(4))，
∴b²-4ac=((b2−4ac)2)/(4)，
∵b²-4ac≠0，
∴b²-4ac=4．

（2）如图，当△ABC为等边三角形时，
由（1）可知CE=√(3)AE=(√(3))/(2)AB，
∴(b2−4ac)/(4a)=(√(3))/(2)×(√(b2−4ac))/(a)，
∵b²-4ac＞0，
∴(b2−4ac)/(16a2)=(3)/(4a2)，
∴b²-4ac=12．