（2010•温州模拟）如图，已知圆A过定点B（0，2），圆心A在抛物线C：x2=4y上运动，MN为圆A在x轴上所截得的弦．（Ⅰ）证明：|MN|是定值；（Ⅱ）讨论抛物线C的准线l与圆A的位置关系；（Ⅲ）

Question

（2010•温州模拟）如图，已知圆A过定点B（0，2），圆心A在抛物线C：x²=4y上运动，MN为圆A在x轴上所截得的弦．
（Ⅰ）证明：|MN|是定值；
（Ⅱ）讨论抛物线C的准线l与圆A的位置关系；
（Ⅲ）设D是抛物线C的准线l上任意一点，过D向抛物线作两条切线DS，DT（切点是S，T），判断直线ST是否过定点，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）设A（x₀，y₀），则x₀²=4y₀，
则圆A的半径r=|AB|＝√(x20+(y0−2)2)，
则圆A的方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-2）²，
令y=0，并将x₀²=4y₀代入得x²-2x₀x+x₀²-4=0，
解得x₁=x₀-2，x₂=x₀+2，∴|MN|=|x₁-x₂|=4为定值．

（Ⅱ）圆心A到抛物线准线l：y=-1的距离为d=y₀+1，
则d²-r²=6y₀-3-x₀²=2y₀-3
所以，当0≤y0＜(3)/(2)时，d＜r，抛物线C的准线l与圆A相交；
当y0＝(3)/(2)时，d=r，抛物线C的准线l与圆A相切；
当y0＞(3)/(2)时，d=r，抛物线C的准线l与圆A相离．

（Ⅲ）设切点为S(x1，(x21)/(4))，T(x2，(x22)/(4))，由y′＝(1)/(2)xk，
则切线为y+1＝(xk)/(2)(x−t)，
所以(x2k)/(4)＝(1)/(2)xkt+1，(k＝1，2)⇒消去t可得，x₁x₂=-4．
又kST＝(x12−x22)/(4(x1−x2))＝(x1+x2)/(4)，
所以直线ST的方程是y−(x21)/(4)＝(x1+x2)/(4)(x−x1)，
即y＝(x1+x2)/(4)x−(x1x2)/(4)，
把x₁x₂=-4，代入得y＝(x1+x2)/(4)x+1，
故直线ST是过定点F（0，1）．