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求过点（2,-1,3）和点（4,1,5）,且垂直于另一个平面x+2y+3z+5=0,求此平面的方程.求详解
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求过点（2,-1,3）和点（4,1,5）,且垂直于另一个平面x+2y+3z+5=0,求此平面的方程.求详解
▼优质解答
答案和解析
设此平面的方程为Ax+By+Cz+D=0,则其法向量为（A,B,C）,因为此平面与另一个平面x+2y+3z+5=0垂直,所以（A,B,C）*（1,2,3）=0,即A+2B+3C=0……①
又知此平面过点（2,-1,3）和点（4,1,5）,所以
2A-B+3C+D=0……②
4A+B+5C+D=0……③
③-②,得2A+2B+2C=0即A+B+C=0……④
①-④,得B+2C=0,即B=-2C,代入④,得A=C
把B=-2C,A=C代入②得
2C+2C+3C+D=0,得D=-7C
把A=C,B=-2C,D=-7C代入Ax+By+Cz+D=0,得
Cx-2Cy+Cz-7C=0,消去C,得所求平面方程为
x-2y+z-7=0
又知此平面过点（2,-1,3）和点（4,1,5）,所以
2A-B+3C+D=0……②
4A+B+5C+D=0……③
③-②,得2A+2B+2C=0即A+B+C=0……④
①-④,得B+2C=0,即B=-2C,代入④,得A=C
把B=-2C,A=C代入②得
2C+2C+3C+D=0,得D=-7C
把A=C,B=-2C,D=-7C代入Ax+By+Cz+D=0,得
Cx-2Cy+Cz-7C=0,消去C,得所求平面方程为
x-2y+z-7=0
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