已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：BC=EC；（2）若cos∠BEC＝45，求DC的长．

Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．

（1）求证：BC=EC；（2）若cos∠BEC＝(4)/(5)，求DC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
由DC是切线，得OC⊥DC，
又AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
又由OA=OC，
得∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠BAC，
∴

EC

＝

BC

，
∴BC=EC．
（2）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BAC=∠BEC，
∴AC=AB•cos∠BAC=AB•cos∠BEC=8，
∴BC＝√(AB2−AC2)＝6，
∴sin∠BAC＝(3)/(5)，
又∵∠DAC=∠BAC=∠BEC，且AD⊥DC，
∴CD＝AC•sin∠DAC＝AC•sin∠BAC＝(24)/(5)．