试证:方程z^4-5z+1=0有3个根在圆环z绝对值大于1和小于2内

Question

试证:方程z^4-5z+1=0有3个根在圆环z绝对值大于1和小于2内

Answer 1

设f（x）=z^4,g（x)=-5x+1
在圆环|z|=2上,有|f（z）|=16
而|g（z）|f有四个零点.根据rouche定理：f（x）+g（x）的四个零点都在|z|<=2内.
对方程做变形：1-5/z^3+1/z^4=0
设h（x）=1,m（x）=x^4-5x^3=x^3（x-5）
在|z|=1上,|h（z）|=1,而|m（z）|=|z-5|>1=|h（z）|
这就说明在|z|<1内,m（z）+h（z）的零点与m（z）的零点一样多.
说明1-5x^3+x^4=0的零点有三个都在|z|<1内,也就是方程z^4-5z+1=0有三个根都都落在区域|z|>1上.
综上:方程z^4-5z+1=0有3个根在圆环z绝对值大于1和小于2内