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在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个�在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数
题目详情
在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个�
在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.
(1)试用组合数表示这个一般规律;
(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和;
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3:4:5,并证明你的结论.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1.
在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.
(1)试用组合数表示这个一般规律;
(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和;
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3:4:5,并证明你的结论.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1.
▼优质解答
答案和解析
(1)设表中任一不为1的数为
,它肩上的两个数分别为
,则有
;
(2)杨辉三角中第n行的所有数可以看做是二项展开式(1+x)n
x
x2+…
xn的所有二项式系数的和,取x=1可得第n行的所有数字和为2n,所以数表中第n行(含第n行)之前所有数之和为1+2+22+…+2n
=
=2n+1-1;
(3)设
=3:4:5,
由
=
,得
=
,即3n-7r+3=0 ①
由
=
,得
=
,即4n-9r-5=0 ②
联立①②解得n=62,r=27.
所以在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数
C | r n+1 |
C | r?1 n |
,C | r n |
C | r n+1 |
=C | r?1 n |
+C | r n |
(2)杨辉三角中第n行的所有数可以看做是二项展开式(1+x)n
=C | 0 n |
+C | 1 n |
+C | 2 n |
+C | n n |
=
1?2n+1 |
1?2 |
(3)设
C | r?1 n |
:C | r n |
:C | r+1 n |
由
| ||
|
3 |
4 |
r |
n?r+1 |
3 |
4 |
由
| ||
|
4 |
5 |
r+1 |
n?r |
4 |
5 |
联立①②解得n=62,r=27.
所以在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数
C | 26 62 |
,C | 27 62 |
,C |
|
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